地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框11×8，凹口宽4、深3，平移[-9, -4]，顶点[[-9, -4], [2, -4], [2, 4], [-4, 4], [-4, 1], [-8, 1], [-8, 4], [-9, 4]]。逐边交叉差[44, 16, 24, 12, 4, -24, 4, 72]，合计152，带符号面积76，倒序为-76，实际面积76。

第2组外框14×9，凹口宽11、深8，平移[-8, 8]，顶点[[-8, 8], [6, 8], [6, 17], [5, 17], [5, 9], [-6, 9], [-6, 17], [-8, 17]]。逐边交叉差[-112, 54, 17, -40, 99, -48, 34, 72]，合计76，带符号面积38，倒序为-38，实际面积38。

第3组外框10×9，凹口宽1、深7，平移[-8, 1]，顶点[[-8, 1], [2, 1], [2, 10], [0, 10], [0, 3], [-1, 3], [-1, 10], [-8, 10]]。逐边交叉差[-10, 18, 20, 0, 3, -7, 70, 72]，合计166，带符号面积83，倒序为-83，实际面积83。

第4组外框6×6，凹口宽2、深5，平移[-5, -7]，顶点[[-5, -1], [-2, -1], [-2, -6], [0, -6], [0, -1], [1, -1], [1, -7], [-5, -7]]。逐边交叉差[3, 10, 12, 0, 1, -6, -42, -30]，合计-52，带符号面积-26，倒序为26，实际面积26。

第5组外框12×11，凹口宽4、深6，平移[-2, 8]，顶点[[-2, 19], [4, 19], [4, 13], [8, 13], [8, 19], [10, 19], [10, 8], [-2, 8]]。逐边交叉差[-114, -24, -52, 48, -38, -110, 96, -22]，合计-216，带符号面积-108，倒序为108，实际面积108。

第6组外框12×6，凹口宽10、深2，平移[-5, -2]，顶点[[-5, 4], [-4, 4], [-4, 2], [6, 2], [6, 4], [7, 4], [7, -2], [-5, -2]]。逐边交叉差[-4, 8, -20, 12, -4, -42, -24, -30]，合计-104，带符号面积-52，倒序为52，实际面积52。

第7组外框10×8，凹口宽1、深2，平移[6, 2]，顶点[[6, 10], [13, 10], [13, 8], [14, 8], [14, 10], [16, 10], [16, 2], [6, 2]]。逐边交叉差[-70, -26, -8, 28, -20, -128, 20, 48]，合计-156，带符号面积-78，倒序为78，实际面积78。

第8组外框6×9，凹口宽1、深7，平移[-7, 5]，顶点[[-7, 5], [-1, 5], [-1, 14], [-3, 14], [-3, 7], [-4, 7], [-4, 14], [-7, 14]]。逐边交叉差[-30, -9, 28, 21, 7, -28, 42, 63]，合计94，带符号面积47，倒序为-47，实际面积47。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。